怎么理解傅里叶-贝塞尔展开?《张朝阳的物理课》求解傅里叶-贝塞尔展开系数

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怎么理解傅里叶-贝塞尔展开?上一次直播课得到的流场级数解的系数该怎么求解?1月15日12时,《张朝阳的物理课》第一百一十六期开播,创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间,先给网友们简单回顾了上一次直播课所得到的圆管中初始时刻静止流体在均匀恒定压力梯度下的流场分布级数形式解,然后以两端固定的弦的波动方程为例,介绍了傅里叶展开与傅里叶-贝塞尔展开之间的联系,最后通过贝塞尔函数的一些性质成功求出了前述流场分布级数解的系数。

一、回顾圆管流场的级数形式解 对比傅里叶展开与傅里叶-贝塞尔展开

在上一次直播课中,张朝阳介绍并求解了一个流体力学模型:一个半径为R的无穷长均匀圆管里装满粘滞系数为μ、密度为ρ的静止流体,从t=0时刻开始给圆管中的流体加上特定的压强分布,该压强的梯度为平行于圆管轴线的常矢量,忽略重力的影响。在这个模型下,以圆管中心为轴建立柱坐标系,z轴指向压强变小的方向,那么流体的流速将平行于z轴,并且流速分布绕中心轴旋转对称、沿z轴平移对称。由于速度场只有z分量,因此只考虑其z分量即可,根据其对称性,可设它为v(r,t)。在上一次直播课中,张朝阳求得t≥0时刻的v(r,t)为

其中c为压强梯度的模,ν=μ/ρ,J0是第零阶贝塞尔函数,λi是J0的第i个正数零点,满足J0(λi)=0,ai是待求的系数,y=r/R。由于t=0时刻流体是静止的,因此v(r,t=0)=0,所以

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定义f(y)=y^2-1,那么上式等价于

也就是说f(y)被零阶贝塞尔函数展开了,ai是其展开系数。事实上,只要f(y)满足适当的边界条件,f(y)就能被同一阶的贝塞尔函数所展开,这样的展开被称为傅里叶-贝塞尔展开。

(张朝阳给网友们回顾上一次直播课的主要结果)

怎么理解傅里叶-贝塞尔展开呢?张朝阳以两端固定的琴弦为例作类比。这个例子在之前的直播课程里详细介绍过,琴弦的运动方程为

假设琴弦一开始只是被拉着偏离平衡位置,然后在t=0时刻被松开,那么它的初始速度为0,琴弦满足的初值条件为

由于琴弦的两端被固定住,因此u(x,t)还需要满足边界条件:u(0,t)=u(a,t)=0,这里的a是琴弦两个固定端点的距离。

之前求解琴弦波动方程时用的是与求解前文流体力学模型中的v(r,t)类似的分离变量法,得到变量分离的解为

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